Народився в українській родині в козацькому містечку Березному на Чернігівщині. 1916 закінчив Чернігівську духовну семінарію. 1918–1921навчався в Київському музично-драматичному інституті імені Миколи Лисенка по класу композиції у Болеслава Яворського, диригування — в Олександра Орлова. 1933 закінчив інститут екстерном.

Від 1919 року працює як організатор і керівник самодіяльності, викладав хорове диригування у музично-навчальних закладах Києва.

1923–1927 - працює в музично-драматичному інституті, від 1931 — в Київській консерваторії (нині - Національна музична академія України імені Петра Чайковського). Від 1947 —професор консерваторії. Серед випускників Г. Верьовки — відомі згодом диригенти Михайло Кречко, Лев Венедиктов.

1941–1945 — науковий співробітник Інституту фольклору АН УРСР, перебуває у примусовій евакуації в азійській частині СРСР.

1943 - організував Український державний народний хор, 1943–1964 був його художнім керівником і головним диригентом. 1964 хору надано ім'я Григорія Верьовки.

1943–1952 — голова Спілки композиторів УРСР (нині - Національна спілка композиторів України).

Похований на Байковому кладовищі (ділянка № 7; надгробок роботи скульптора Еліуса Фрідмана).

Верьовка як композитор працював переважно в царині хорової масової пісні, займався обробками народних пісень. Твори Верьовки широко популярні, багато які з них стали істинно народними. Ним написані пісні, присвячені своєму народу, рідній землі, зокрема: «Ой, як стало зелено», «Ой чого ти земле, молодіти стала» і інші, а також жартівливі пісні, з них українська народна пісня «І шумить, і гуде». Також віддав належне ідеологічному дискурсу, створивши пропагандистські пісні, зокрема «Клятва», пісні, що оспівують каторжну працю на будівельних об'єктах ГУЛАГ СРСР: «Дівчата з Донбасу», «Пісня про Волго-Дон», «Шахтарочка».

Серед творів великої форми кантата «Ми ковалі своєї долі» на слова поета Павла Тичини.

Верьовка створив також обробки пісень російських повстанців-комуністів: «Вперед, народе, йди», «Карманьйола» та інші, а також обробки українських народних пісень: «І шумить, і гуде», «Ой чого ти, земле, молодіти стала».

Народний хор рік від року вдосконалював майстерність. У кожній з країн, де проходили виступи, хор співав українські пісні, старанно уникаючи російського репертуару.